Nato a Portugalete, in Spagna, il 30 gennaio 1997, Unai Núñez è un difensore centrale di piede destro, cresciuto nel settore giovanile dell’Athletic Club. Con la formazione basca ha completato tutta la trafila delle giovanili fino al debutto in Prima squadra, avvenuto il 20 agosto 2017 in occasione della gara di Liga contro il Getafe e nelle competizioni europee il 2 novembre 2017, nella gara di UEFA Europa League contro l’Östersund.

Con l’Athletic Bilbao ha disputato cinque stagioni consecutive nella massima divisione spagnola, totalizzando più di 100 presenze e 3 reti tra Liga, Coppa del Re, Supercoppa spagnola ed Europa League, vincendo anche la Supercoppa spagnola nel 2021 superando il Real Madrid in semifinale e il Barcellona in finale.

Nel luglio 2022 si trasferisce al Celta Vigo. Con la squadra galiziana colleziona 76 presenze ufficiali in due stagioni tra Liga e Coppa del Re, segnando 1 gol.

Successivamente, per la stagione 2024/25, fa ritorno all’Athletic Bilbao, con cui disputa 15 gare tra campionato e coppe, giocando da titolare anche la semifinale di ritorno di Europa League contro il Manchester United.

A livello internazionale ha vestito la maglia della Spagna Under 21 tra il 2017 e il 2019, raccogliendo 10 presenze, e ha debuttato con la Nazionale maggiore l’8 settembre 2019 nell’incontro di qualificazioni europee contro le Isole Fær Øer. Con la Nazionale Under 21 si è anche laureato campione d’Europa il 30 giugno 2019, giocando da titolare la finale vinta 2-1 contro la Germania.